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用語

ユークリッド整域(ユークリッドせいいき、英: Euclidean domain)あるいはユークリッド環(ユークリッドかん、英: Euclidean ring)とは、ユークリッド写像(次数写像)とも呼ばれるある種の構造を備えた環で、そこではユークリッドの互除法を適当に一般化したものが行える。この一般化された互除法は整数に対するもともとの互除法アルゴリズムとほとんど同じ形で行うことができ、任意のユークリッド環において二元の最大公約数を求めるのに適用できる。特に、任意の二元に対してそれらの最大公約数は存在し、それら二元の線型結合として書き表される(ベズーの等式)。また、ユークリッド環の任意のイデアルは主イデアル(つまり、単項生成)であり、したがって算術の基本定理の適当な一般化が成立する。すなわち、任意のユークリッド環は一意分解環である。


ユークリッド環のクラスをより大きな主イデアル環 (PID) のクラスと比較することには大いに意味がある。勝手な PID はユークリッド環(あるいは実際には有理整数環を考えるので十分だが)と多くの構造的性質を共有しているが、しかしユークリッド環には明示的に与えられるユークリッド写像から得られる具体性があるのでアルゴリズム的な応用に有用である。特に、有理整数環や体上一変数の任意の多項式環が容易に計算可能なユークリッド写像を持つユークリッド環となることは、計算代数において基本的に重要な事実である。そういったことから、整域 R が与えられたとき、R がユークリッド写像を持つことがわかるとしばしば非常に便利なのである。特に、そのとき R が PID であることが分かるが、しかし一般にはユークリッド写像の存在が明らかでないときに R が PID かどうかを決定する問題は、それがユークリッド環であるかどうかの決定よりも容易である。